1.插值方法

1.1 插值问题的提出

我们平时在数学学习的过程中,有些情况下是不知道函数 y=f(x) 的具体表达式,需要我们进一步去求解才可以得出结果。

那么,实验测量对于 x=xi 有值 y=yi ( i=0,1,2,...,n)与之对应,我们可以寻求另一个函数 Φ(x) 使满足 Φ(x) =yi=f(xi)。

诸如以上类似描述的就称为:插值问题,并称 Φ(x) 为 f(x) 的插值函数,x0,x1,x2,...,xn 称为插值节点。Φ(x) =yi(i=0,1,2,...,n)称为插值条件,即 Φ(x) =yi=f(xi) ,且 Φ(x)≈f(x)。

又如,函数解析式未知,但是我们通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间 [a,b] 上给出一系列点的函数值 yi=f(xi),或者给出函数表,下面的这张图表示的就是插值问题的解决方法:???

 

我们就是根据 y=f(x) 的图像上的某些点,去寻求另一个函数 y=p(x) ,目标是所寻求的这个函数上的某些点需要和被插函数上的某些点相吻合,这其实就是插值问题的思想。 

插值函数 p(x) 在 n+1 个互异插值节点 xi(i=0,1,...,n)处与 f(xi) 相等,在其它点就用 p(x)  的值作为 f(x) 的近似值,这样的一个过程就称为“插值”,点x称为插值点。

换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表来“插出”所需要的某些点的函数值。用 p(x) 的值作为 f(x) 的近似值,不仅希望 p(x) 能够较好地逼近 f(x),而且还希望相应的函数计算过程更加简单。

由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点,下面详细介绍代数插值,即求一个次数不超过n次的多项式:???

p(x) = anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a1x + a0
上式如果满足 p(xi) = f(xi) (i=0,1,2,...,n)
则称 p(x) 为 f(x) 的n次插值多项式
这种插值方法通常称为代数插值法,其几何意义就是上面那张图

为了构造满足插值条件 p(xi) = f(xi) (i=0,1,2,...,n) 的便于使用的插值多项式 p(x) ,先考察几种简单的情形,然后再推广到一般形式,也就是下面我们要介绍的线性插值和抛物插值。

 

1.2 线性插值 

线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x) 在两个互异的点 x0,x1 的值,y0 = f(x0),y1 = f(x1),现要求用线性函数 p(x) = ax + b 近似的代替 f(x),选择参数 a 和 b,使 p(xi) = f(xi) (i=0,1),称这样的线性函数 p(x) 为 f(x) 的线性插值函数。下面,我们来看一下线性插值的几何意义:???

 

我们用通过点 A(x0,f(x0)) 和 B(x1,f(x1)) 的直线近似地代替曲线 y=f(x),由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为: 

 

下面,我们来看一个例子:???

 

将 x = 115 代入上面的 p(x)线性插值函数中即可
最终的结果为:
y = √115 ≈ p(115) = 10.714

 

1.3 抛物插值

抛物插值又称二次插值,它也是常用的代数插值之一。

在这里,我们设已知 f(x) 在三个互异点 x0,x1,x2的函数值分别为 y0,y1,y2,要构造次数不超过二次的多项式 p(x) = a2x² + a1x + a0,使其满足二次插值条件 p(xi) = yi(i=0,1,2)。这就是二次插值问题,它的几何意义就是用经过3个点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)的抛物线 p(x) 近似地代替曲线 y=f(x), 如下图所示:???

 

抛物插值函数 p(x) 的参数 a0、a1、a2 直接由插值条件决定,所以参数 a0、a1、a2 满足下面的代数方程组:???

显然,这是一个范德蒙行列式,那么,当 x0 ≠ x1 ≠ x2 时,方程组的解唯一。 

 

对于上述二次式,我们可以知道 l0(x1) = 0,l0(x2) = 0,那么点 x1 和 x2 就是 l0(x) 的两个零点,所以就可以设出对应的二次函数(抛物线)的表达式,并且将 l0(x0) = 1 代入表达式,即可求出 l0(x)。

l0(x) = (x-x1)(x-x2) / (x0-x1)(x0-x2)

我们可以根据上面这个思路,继续求出 l1(x) 和 l2(x),最后将这三个基函数 l0(x)、l1(x)、l2(x) 通过线性组合得出要构造的次数不超过二次的多项式 p(x) (抛物插值函数),满足条件 p(xi) = yi(i=0,1,2),类似于上面的过程如下:??? 

 

 

1.4 Lagrange插值公式

 

 

 

 那么,对于下面这个例子,我们按照Lagrange插值法,代入公式就可以了!!!???

 

 

2.样条函数与样条插值

2.1 样条函数概念

 

2.2 样条函数插值

样条函数插值,满足对应节点的函数值相等,同时对应节点的导函数的值也相等。

 

3. 拟合方法

3.1 拟合问题的额提出

插值和拟合的区别在于:

①插值要求的是在对应的节点处,函数值相等,插值有插值条件,在节点处必须满足某种条件。(近似程度更高)

②拟合只需要近似的表达某种条件即可,并不要求函数值必须相等,只需达到近似就可以了。(近似程度较插值偏低)

 

3.2 线性最小二乘拟合问题 

 

3.3 举例

 

4.总结

 

原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_43823808/article/details/106940463

最后修改日期:2020年6月26日